“不敢,不敢。”王崎要要有。二十三問何其可怕?就算在地球,這二十三個問題當中依舊有數問是懸而未決的。他就算有信心獨立解決其中的一兩問,也不敢說能夠解決所有。
馮落衣搖搖頭:“以後的事情,誰知道呢?五六年前吧,我就沒看出來,你居然能夠循著那個完備性,一舉擊穿第二問、第十問——唔,說不定還要再添上第一問。”
“不過……”馮落衣的眼神突然銳利起來:“你好像總是很喜歡走彎路。”
“彎路?”
王崎錯愕。力迫法才是完美解決連續統假設問題的不二之選啊?為什麼是彎路?
“我最近看到了一個思路,很奇特,很有趣。”馮落衣盯著王崎的眼睛,道:“將所有可建立集合同和成一個系統,在無限中比較無限的大小……”
王崎錯愕:“有人想出來了?”
這就是當初哥德爾證明連續統假設的思路!
在ZF公理允許的範圍之內作推到,證明,若是ZF公理系統具備一致性,則連續統假設為真。在ZF公理體系之內,連續統假設無法被證偽。
對於二十三問來說,這應該已經算是一個完美的答案了。
但是,“不能證偽”並不代表“證實”。
沿著這個思路,人們同樣可以證出,在ZF公理系統之內,連續統假設不能證實。
換句話說,連續統問題在集合論的範疇之內,是一個具備了不可判定性的問題。如果這個“不能證實也不能證偽”的結論再早一點,那麼不用嚴格證明第十問,這就是對“可判定性”的一個絕對反例。
只有在現有公理體系之外,才能證明。
力迫法,就是衝出原有公理體系的束縛,自開體系、自定道路。
但是,若試集合論、現有公理系統為基石,那麼這個“自創”的系統,又應該怎麼算?基石之外?算學之內?
這也是力迫法重大意義的來源。
聽到王崎的驚呼,馮落衣眼光一閃:“這個思路,你也想到過是吧?”
“隱約想到過,但是……不大喜歡。”王崎只能這麼說了。若論理論論證過程的簡明、流暢程度,科恩的力迫法遠遠不及哥德爾的思路。除非是傻了瘋了,不然一般人都不會在前方還有的時候去闖出這條路的。
“又是沒有根據的‘直覺’?”馮落衣搖搖頭,罕見的沒有訓斥王崎,只是感嘆:“數年之前,似乎也發生過這種事啊……你避開了一般人覺得正常的道路,走了‘歪路’,直到前些日子裡丟擲不全之律,破了那完全之念,我才發現,原來你前幾年繞的遠路,才是唯一的正路。”
馮落衣所指的,乃是王崎獲得道種賞前後,用超限歸納法證明算術系統一致性的道路。按照一般人所想,他應該根據自己證明的“一階謂詞邏輯系統完備”出發,從一階推向高階。
但是,王崎當時選擇的,卻是一條無比遠的路——在系統外證明系統內無矛盾。
眾人會奇怪,明明有一條通天坦途,你偏不走,非要到系統外繞一圈,這不是傻嗎?
當時,只有王崎明白,這個系統是做不到“不假外求”的。他繞的那一圈,才是必須的。
不過,這一次就不大一樣了。哥德爾的那個證明思路,只不過沒有力迫法那樣意義大,沒有力迫法那樣無可辯駁的力度。實際上,這依舊是一條正路。
他只能說道:“這……真的只是個人喜好的問題。那個思路,應當是沒有錯的。”
“哦。”馮落衣點點頭,也不知聽沒聽進去。
“對了,老師。”王崎突然有些好奇了:“那個思路的提出者,到底是誰?”
到底是哪來的奇葩,居然可以獨立思考