加法器add，add(x，y)=x+y，怎麼用那三種基本函式組合？

也很簡單，從具體輸入入手：

add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))

似乎只需要組合多個後繼函式就可以了呢。

當然，這裡面有一個毛病，在於我們在沒有定義好add的前提下，先入為主地認為add(3，0)=3.

所以我們不能認為自己就這麼簡單地構造了add，只能退而求其次地得到以下關係：

add(x，y+1)=succ(add(x，y))，這個式子是十分嚴謹的。

更具體地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我們稱add(x，0)=x為基準條件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))為遞迴條件。

看起來就差臨門一腳了，只要我們能用三種基本函式構造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能構造出我們想要的加法器。

也很顯然，add(x，0)=x=proj11

於是，我們的加法器有了。

這種看起來很像左腳踩右腳登天的構造方式叫做“原始遞迴”，它的定義是這樣的：

基準函式f:Nn—N

遞迴函式g:Nn+2—N

使用f和g的原始遞迴h=pn(f，g):Nn+1—N

對於h:

基準條件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

遞迴條件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

回到我們的加法器add：

add:N2→N

add(x，y)=x+y=p1(f，g)

基準條件：add(x，0)=f(x)=proj11

遞迴條件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

add=p1(proj11，succ·[proj33]）

完美無瑕。

類似地，乘法器mult=p1(zero，add·[proj13，proj33])

前繼函式，減法器等等基本運算都可以據此定義，只需要proj，zero，succ三種原始函式和組合·，原始遞迴p這兩種基本操作。所有完全函式都可以據此構造。

那麼“偏函式”呢？

構造偏函式還需要額外的一個操作：最小化。

如果我們有一個函式f:N^n+1—N (這裡^代表上標，雖然不好看，但實在是敲得太麻煩沒有耐心了)，具體的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定引數，x是可變引數。

那麼最小化操作為：μ^nf:N^n—N它會找到給它輸入的n個引數裡，最小的一個，並輸出

比如f(5，4，3，2，1，0)=0

如果遇到重複引數，那麼就輸出第一個最小的。

比如f(5，4，3，2，1，1)=1

假設我們有一個投影函式長這樣：

proj21:N2—N (proj21中的2是上標，1是下標，下同，寫不動擺爛了)

那麼μ^1proj21:N—N

舉個栗子：

假如我們給proj21弄一個最小化操作：